Решение всех прототипов задания 20 (база ЕГЭ)

Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр – на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?

Так как оплата каждого следующего метра отличается от оплаты предыдущего на одно и то же число, перед нами арифметическая прогрессия.

В этой прогрессии - плата за первый метр, - разница в оплате каждого последующего метра, - количество рабочих дней.

Сумма членов арифметической прогрессии находится по формуле:

Подставим данные задачи в эту формулу.

В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

· за 2 зо­ло­тые мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ные и одну мед­ную;

· за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тые и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 100 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая?

Решение задачи см. здесь.

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 5 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Если кузнечик сделает пять прыжков в одном направлении (вправо или влево), то он окажется в точках с координатами 5 или -5:

Заметим, что кузнечик может прыгать и вправо и влево. Если он сделает 1 прыжок вправо и 4 прыжка влево (в сумме 5 прыжков), то окажется в точке с координатой -3. Аналогично, если кузнечик сделает 1 прыжок влево и 4 прыжка вправо (в сумме 5 прыжков), то окажется в точке с координатой 3:

Если кузнечик сделает 2 прыжка вправо и 3 прыжка влево (в сумме 5 прыжков), то окажется в точке с координатой -1. Аналогично, если кузнечик сделает 2 прыжка влево и 3 прыжка вправо (в сумме 5 прыжков), то окажется в точке с координатой 1:

Заметим, что если общее количество прыжков нечетное, то в начало координат кузнечик не вернется, то есть он сможет попасть только в точки с нечетными координатами:

Этих точек всего 6.

Если бы количество прыжков было четным, то кузнечик смог бы вернуться в начало координат и все точки на координатной прямой, в которые он мог бы попасть имели бы четные координаты.

Улитка за день залезает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка доползет до вершины дерева?

Заметим, что в этой задаче следует различать понятие "сутки" и понятие "день".

В задаче спрашивается именно за сколько дней улитка доползет до вершины дерева.

За один день улитка поднимается на 2 м, а за одни сутки улитка поднимается на 1 м (за день поднимается на 2 м, а потом за ночь спускается на 1 м).

За 7 суток улитка поднимается на 7 метров. То есть утром 8-го дня ей останется доползти до вершины 2 м. И за восьмой день она преодолеет это расстояние.

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 105 квартир?

Чтобы найти число квартир в доме, нужно число квартир на этаже ( ) умножить на число этажей ( ) и умножить на число подъездов ( ).

То есть нам нужно найти ( ), исходя из следующих условий:

Последнее неравенство отражает условие "число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного".

То есть ( ) - самое больше число.

Разложим 105 на простые множители:

С учетом условия (1), .

В корзине лежат 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Так как среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик (или больше) число груздей должно быть меньше или равно чем .

Отсюда следует, что число рыжиков больше или равно чем .

Так как среди любых 20 грибов хотя бы один груздь (или больше), число рыжиков должно быть меньше или равно чем

Тогда получили, что с одной стороны, число рыжиков больше или равно чем 19, а с другой - меньше или равно чем 19.

Следовательно, число рыжиков равно 19.

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Пусть на каждом этаже квартир.

Тогда число квартир в первых шести подъездах равно

Найдем максимальное натуральное значение , удовлетворяющее неравенству ( - номер последней квартиры в шестом подъезде, и он меньше, чем 333.)

Номер последней квартиры в шестом подъезде -

Седьмой подъезд начинается с 325-й квартиры.

, следовательно, 333 квартира находится на втором этаже.

На поверхности глобуса фломастером проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность глобуса? Меридиан – это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюса. параллель – это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Представим себе арбуз, который мы разрезаем на кусочки.

Сделав два разреза от верхней точки к нижней (проведя два меридиана), мы разрежем арбуз на две дольки. Следовательно, проведя 24 разреза (24 меридиана) мы разрежем арбуз на 24 дольки.

Теперь будем разрезать каждую дольку.

Если мы сделаем 1 поперечный разрез (параллель), то разрежем одну дольку на 2 части.

Если мы сделаем 2 поперечных разреза (параллели), то разрежем одну дольку на 3 части.

Значит, сделав 17 разрезов мы разрежем одну дольку на 18 частей.

Итак, мы разрезали 24 дольки на 18 частей, и получили куска.

Следовательно, 17 параллелей и 24 меридиана разделяют поверхность глобуса на 432 части.

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым – 7 кусков, а если по зелёным – 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

Если сделать 1 разрез, то получится 2 куска.

Если сделать 2 разреза, то получится 3 куска.

В общем случае: если сделать разрезов, то получится кусок.

Обратно: чтобы получить кусков, нужно сделать разрез.

Найдем общее количество линий, по которым разрезали палку.

Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков - следовательно, красных линий было 4;

если по жёлтым – 7 кусков - следовательно, желтых линий было 6;

а если по зелёным – 11 кусков - следовательно, зеленых линий было 10.

Отсюда общее количество линий равно . Если распилить палку по всем линиям, то получится 21 кусок.

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, Б, B, и Г. Расстояние между A и Б – 50 км, между A и В – 40 км, между В и Г – 25 км, между Г и A – 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между Б и В.

Посмотрим, как могут быть расположены бензоколонки. Попробуем расположить их так:

При таком расположении расстояние между Г и А не может быть равно 35 км.

При таком расположении расстояние между А и В не может быть 40 км.

Рассмотрим такой вариант:

Этот вариант удовлетворяет условию задачи.

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть ученик дал правильных ответов и неправильных ( ). Так как возможно были еще вопросы, на которые он на ответил, получаем неравенство:

Кроме того, по условию,

Так как правильный ответ добавляет 7 очков, а неправильный убавляет 9, и в конечном итоге ученик набрал 56 очков, получаем уравнение:

Это уравнение надо решить в целых числах.

Так как 9 на 7 не делится, должен делиться на 7.

В этом случае - все условия выполняются.

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трех из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке равны 15, 18, 24. Найдите площадь четвертого прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Желтый и голубой прямоугольники имеют общую сторону, поэтому отношение площадей этих прямоугольников равно отношению длин других сторон (не равных между собой).

Белый и зеленый прямоугольники также имеют имеют общую сторону, поэтому отношение их площадей равно отношению других сторон (не равных между собой), то есть тому же отношению:

По свойству пропорции получим

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трех из них, начиная с левого верхнего и далее почасовой стрелке равны 17, 12, 13. Найдите периметр четвертого прямоугольника.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон.

Обозначим стороны прямоугольников как указано на рисунке и выразим через указанные переменные периметры прямоугольников. Получим:

Теперь нам нужно найти, чему равно значение выражения .

Вычтем из третьего уравнения второе и прибавим третье. Получим:

Упростим правую и левую части, получим:

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 72, во втором – 81, в третьем – 91, а сумма чисел в каждой строке больше 13, но меньше 16. Сколько всего строк в таблице?

Найдем сумму всех чисел в таблице: .

Пусть число строк в таблице равно .

По условию задачи сумма чисел в каждой строке больше 13, но меньше 16.

Так как сумма чисел - натуральное число, этому двойному неравенству удовлетворяют только два натуральных числа: 14 и 15.

Если предположить, что сумма чисел в каждой строке равна 14, то тогда сумма всех чисел в таблице равна , и эта сумма удовлетворяет неравенству .

Если предположить, что сумма чисел в каждой строке равна 15, то тогда сумма всех чисел в таблице равна , и это число удовлетворяет неравенству .

Итак, натуральное число должно удовлетворять системе неравенств:

Единственное натуральное , удовлетворяющее этой системе - это

Про натуральные числа А, В и С известно, что каждое из них больше 4 но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на А потом прибавили к полученному произведению В и вычли С. Получилось 165. Какое число было загадано?

Натуральные числа А, В и С могут быть равны числам 5, 6 или 7.

Пусть неизвестное натуральное число равно .

Рассмотрим различные варианты.

Пусть А=5. Тогда B=6 и С=7, или B=7 и С=6, или B=7 и С=7, или B=6 и С=6.

165 делится на 5.

Разность между числами В и С либо равна , либо равна 0, если эти числа равны. Если разность равна , то равенство (1) невозможно. Следовательно, разность равна 0 и

Пусть А=6. Тогда B=5 и С=7, или B=7 и С=5, или B=7 и С=7, или B=5 и С=5.

Разность между числами В и С либо равна , либо равна 0, если эти числа равны. Если разность равна или 0 то равенство (2) невозможно, так как - четное число, а сумма (165 + четное число) - не может быть четным числом.

Пусть А=7. Тогда B=5 и С=6, или B=6 и С=5, или B=6 и С=6, или B=5 и С=5.

Разность между числами В и С либо равна , либо равна 0, если эти числа равны. Число 165 при делении на 7 дает в остатке 4. Следовательно, также не делится на 7, и равенство (3) невозможно.

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 352, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Очевидно, что номер первой страницы после выпавших листов больше чем 352, значит это может быть либо 532, либо 523.

Каждый выпавший лист содержит 2 страницы. Следовательно выпало четное число страниц. 352 - четное число. Если мы к четному числу прибавим четное, то получим четное число. Следовательно, номер последней выпавшей страницы - четное число, и номер первой страницы после выпавших листов должен быть нечетным, то есть 523. Следовательно, номер последней выпавшей страницы 522. Тогда выпало листов.

Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь - печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенье они съели поровну?

Если Маша и Медведь съели варенье поровну, а медведь в единицу времени съедал втрое больше варенья, значит он ел варенье втрое меньшее время, чем Маша. Другим словами, Маша ела варенье втрое дольше, чем Медведь. Но пока Маша ела варенье, медведь ел печенье. Следовательно, медведь ел печенье втрое дольше, чем Маша. Но Медведь, к тому же, в единицу времени съедал втрое больше печенья, чем Маша, следовательно, в итоге он съел в 9 раз больше печенья, чем Маша.

Теперь несложно составить уравнение. Пусть Маша съела печений, тогда Медведь съел печений. Вместе они съели печений. получаем уравнение:

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: оранжевая, белая и синяя. Слева от оранжевой вазы 15 роз, справа от синей вазы 12 роз. Всего в вазах 22 розы. сколько роз в оранжевой вазе?

Так как 15+12=27, и 27>22, следовательно, количество цветов одной вазе посчитали дважды. И это белая ваза, так как это должная быть ваза, которая стоит справа от синей и слева от оранжевой. Значит, вазы стоят в таком порядке:

Отсюда получаем систему:

Вычтя из третьего уравнения первое, получим О= 7.

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 8 проводов. сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

Смоделируем ситуацию. Пусть у нас есть два столба, и они соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 1 провод. Тогда получается, что от столбов отходит 2 провода. Но мы имеем такую ситуацию:

То есть при том, что от столбов отходит 2 провода, протянут между столбами всего один провод. Значит, число протянутых проводов в два раза меньше, чем число отходящих.

Получаем: - число отходящих проводов.

- число протянутых проводов.

Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

Эта задача аналогична предыдущей: две страны подписывают один общий договор. На каждом договоре стоит две подписи. То есть число подписанных договоров вдвое меньше, чем число подписей.

Найдем число подписей:

Найдем число подписанных договоров:

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на три разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 3 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Пусть наименьший угол равен , тогда наибольший угол равен . Так как сумма всех углов равна , величина среднего угла равна .

Средний угол должен больше наименьшего и меньше наибольшего угла.

Получим систему неравенств:

Следовательно, принимает значения в диапазоне от 52 до 71 градуса, то есть всего возможных значений.

Миша, Коля и Леша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 12 партий, а Коля - 25. Сколько партий сыграл Леша?

Следует пояснить, как устроен турнир: турнир состоит из фиксированного числа партий; проигравший в данной партии игрок уступает место игроку, который не участвовал в данной партии. По итогам следующей партии игрок, который не принимал в ней участие, заступает на место проигравшего. Следовательно, каждый игрок принимает участие хотя бы в одной из двух последовательных партий.

Найдем, сколько всего было партий.

Так как Коля сыграл 25 партий, следовательно, в турнире было проведено не меньше 25 партий.

Миша сыграл 12 партий. Так как он точно принимал участие в каждой второй партии, следовательно, было проведено не больше, чем партий. То есть турнир состоял из 25 партий.

Если Миша сыграл 12 партий, то Леша сыграл оставшиеся 13.

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения . Произведение получившихся чисел оказалось равным 3495 . Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки 2, 3, 4 или 5 и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округленным по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5 - до 5; 2,8 - до 3)

Разложим 3495 на простые множители. Последняя цифра числа 5, следовательно, число делится на 5; сумма цифр делится на 3, следовательно число делится на 3.

Следовательно, оценки Пети 3, 5, 2, 3, 3. Найдем среднее арифметическое:

Среднее арифметическое 6 различных натуральных чисел равно 8. На сколько нужно увеличить наибольшее из этих чисел, чтобы их среднее арифметическое стало на 1 больше?

Среднее арифметическое равно сумме всех чисел, деленной на их количество. Пусть сумма всех чисел равна . По условию задачи , следовательно .

Среднее арифметическое стало на 1 больше, то есть стало равно 9. Если одно из чисел увеличили на , то и сумма увеличилась на и стала равна .